披萨的问题

CC数学系的一个长期传统是我们的披萨问题. 大概每个街区会在数学系发布一次, 并给你一个通过解决数学或计算机科学问题赢得披萨的机会. 你可以自己工作，也可以小组工作. 如果你喜欢的话，你可以用计算器甚至电脑. Sometimes it is the first solution turned in that wins the pizza; sometimes it is the best solution (whatever that means).

比萨问题是由我们的数学和计算机科学专业的助教贴在系里的. 你可以把你的解决方案变成TSC 209的Paraprofs, 以及查看过去的披萨问题及其解决方案. 祝你好运!!

数论马蹄铁

(改编自马洛·安德森、史蒂文·扬克和约翰·沃特金斯的描述)

数论马蹄铁的现行规则截止到1996年3月. 然而, 我们保留在任何春季野餐时更改它们的权利, 事实上, 每年春天增加一条规则已成为惯例.

我们用两队比赛，每队两名队员，使用规则的马蹄铁和坑. 在一局游戏中，每个玩家掷一个马蹄铁, 每队轮流上场(每轮由落后的队伍决定谁先上场). 这一轮的得分取决于参数n, 这是实际进入坑中的马蹄铁的数量(在我们的游戏中n很少是4).

马蹄铁最靠近木桩的队伍得2分 ^n-1 分，下一个最近的2分 ^n-2 等等....... 因此，如果三个玩家最终进入坑中，则得分为4、2和1. 这条规则的主要例外——在我们的经验中很少需要——是“铃声”收到2 ⁿ 点. 因此，对于三个玩家在一个响铃坑中，得分为8,2和1. 但我们也给得分一个异想天开的数论扭曲:当一个球队的累积得分是素数, 他们立即得到额外的一分. (当一个球队得到2分时，这引起了特别的兴奋.)

游戏的目标是达到15分. 如果一支队伍的得分超过15分，那么在接下来的几轮比赛中，他们的得分将被颠倒. 例如, 如果一支队伍达到18人, 然后下一轮得1分, 比分变成了17, 然后16，因为17是质数. 这个游戏的魅力之一是，我们花在聊天上的时间似乎和实际扔马蹄铁的时间一样多. 我们讨论马蹄铁是在坑里还是坑外(因此, where its center of mass is); we discuss whether or not 1 is prime and why; and we discuss making new rules such as the recent addition of granting a "leaner" 2 ⁿ 1点.

但最重要的是, 我们讨论策略, endlessly pausing to compute possible scores before throwing; often it is best for a player to avoid the pit entirely, 或者是扔 内部 坑但是 外 其他的马蹄铁. 1994年实施的一项规则是，如果一个队员投进任何一个球，就从该队的得分中扣除1分 其他 游戏坑, 在另一个游戏中，在那一轮中最接近的玩家可以决定他们是否想要 n=k or n=k+1 点(我.e. 他们决定是否要把外来的马蹄铁算在这一轮的得分中。.我们希望从这个种子开始，我们的游戏的区域变化将在整个土地上涌现出来. 然而，那些设想在这项运动中进行校际比赛的人没有抓住重点.

练习:

1. 表明不可能在一轮中赢得游戏.
2. 显示一个队伍的最大可能累积得分是46分.
3. 假设每个玩家进入坑的概率为p(得到林格或勒夫的概率为0). 在一轮比赛后，一支队伍的预期得分是多少?
4. 在一轮比赛后获得所有可能的分数. 两轮比赛也是这样吗.
5. 你能描述一种情况，如果一名球员进入坑里，另一队就赢了吗?

凸壳槌球

凸壳槌球 (CHC)在标准的槌球布局上进行，有九个门柱和两个门柱. 游戏的目标是成为第一个以正确的顺序和方向通过所有九个三柱门的球员, 击中了最后一根柱子.

1. 每个球员在第一个门柱处第一次投篮. 如果一名球员在第一次击球时击中了另一名球员的球，他就会重新开始.
2. 让 n 是玩家的数量.
3. 在第一轮之后，玩家开始她的第一轮射击. 如果她的球落在闭合的凸包内，她就会得到另一次击球 n-1个球属于其他玩家. 这种额外的投篮被称为a 船体拍摄. 在一个给定的回合中，玩家最多可以获得4次炮弹射击.
4. 如果一个球员的球碰到另一个球员的球, 这名球员有义务把对方球员的球传给对方, 通过移动他的球靠近刚刚击球的球, 然后击球, 不管他有没有把脚踩在自己的球上. 用脚击球的球叫做投篮 发送照片，而没有脚的被称为 滚动送球. 送出的球必须落在由其余球形成的封闭凸包中 n2的球员.
   1. 如果这是成功的，玩家将获得两个额外的奖励 免费的照片，不算作炮弹射击. 请注意，自由投篮是除了发送投篮，即使它是一个滚动发送投篮.
   2. 如果发送的球没有落在封闭的凸包中, 送出的球留在原地不动, 玩家的回合结束, 该玩家的球由下一个玩家放置在由其余玩家的球形成的封闭凸壳的质心处 n2的球员. This placement is made with the general agreement and discussion of the remaining players; we say that the player has been 重心.
   3. 在给定的一轮中, 一名球员只能击打另一名球员的球一次, 为了有机会获得两次免费投篮. 如果指定球员的球再次被击中，则不会受到处罚，但也不会有任意球.
   4. 如果场地上其他球的位置使得所瞄准的闭合凸壳异常薄, 我们称这种情况为 凸地狱.
5. 通过三柱门或击中门柱不能获得自由射门. 此外, 穿过一个小门, 或者击中门柱, 不清除一个球员，以获得更多的自由球，击球已经被球员在那一轮. 引用著名槌球哲学家珍·考特的话: 这都是关于船体的.
6. 在给定的一轮中，一个球员的理论最大击球次数如下:
   
   

   table

   镜头类型	可用的数量
   最初的拍摄	1
   船体照片	4
   免费的照片	2*( n-1)
   滚动送球	n-1
   总计	5+3*( n-1)

7. 闭合凸包是通过假设每个球是一个点来计算的, 在球的质心处休息的.
8. 质心以几何方式计算，由球停留的点决定. It is not a center of mass; balls resting interior to the geometric region have no affect on the location of the centroid.
9. 注意，在少于5名玩家的情况下，获得一次自由射门的概率为0. 此外，如果玩家少于4人，获得船体射击的概率为0. 这被称为 无助的定理; proof is left to the reader.
10. 可能的变化:最后一个成功通过指定三柱门的球员将获得一次自由射门机会. 这条规则可能的影响是收紧封闭凸包的大小. 但是它确实违反了 科特原则 就是这样 关于船体的一切.

Web上的凸包Java小程序:

• 快速船体和蛮力算法